Математик Николай Андреев: «Лобачевский не мог и представить, что его геометрия ляжет в основу технологии GPS»

На минувшей неделе в Казанском федеральном университете прошла пятая серия цикла образовательных интенсивов «PRO НАУКА» — «Ночной предел». В этом году мероприятие состоялось в рамках Года Лобачевского в КФУ — лекции и интерактивные площадки были посвящены математике и IT-технологиям. Специальным гостем университета стал популяризатор математики и создатель проекта «Математические этюды» Николай Андреев. В интервью «Инде» он рассказал о тригонометрии в школе, гуманитариях с математическими мозгами и и объяснил, как сделать школьную математику великой снова.

В своих интервью вы часто отмечаете, что ваша задача как популяризатора, в частности, состоит в том, чтобы сломить закладываемый в школе стереотип о математике как скучной науке. Логичный вопрос: что не так с уроками математики?

Время изменилось. Когда я был школьником, нам было достаточно написать формулу на доске, и мы тут же зажигались азартом. Этому во многом способствовала государственная политика, которая обращала большое внимание на физико-математическое направление в учебных заведениях: многие мечтали стать инженерами и космонавтами. Подобная атмосфера сохраняется и сейчас на каких-то специальных семинарах и конференциях — людям старшего поколения, чтобы увлечь, можно не показывать веселые картинки. У нынешних детей гораздо больший выбор того, чем они могут заняться, поэтому, если не дать им четкого понимания того, для чего нужны, например, синусы и косинусы, они легко переключаются на более увлекательную, с первого взгляда, сферу деятельности. Одна из возможностей для поддержания интереса — показывать не сухие формулы, а иллюстрации того, что математика опосредует всю нашу жизнь. Математика везде, и как минимум поэтому понимать ее нужно каждому. Знание математики делает жизнь более интересной. Но, конечно же, в рамках обучения нельзя забывать и про формулы — потому что без них в математике никуда.

То есть школьная математика осталась в рамках советской модели?

Да, но это, в общем-то, не очень и плохо. Ракеты в космос, в конце концов, улетают регулярно, и в этом не последнюю роль играет база, заложенная в школе. Но нужно, конечно же, попытаться совместить приятное с полезным и добавлять увлекательности в преподавание. В этом основная роль отводится учителю. Что приятно, куда бы я ни приехал, на местах я встречаю множество хороших учителей. Когда смотришь на их увлеченность занятиями с детьми и профессионализм, за страну становится спокойно. Но, конечно, хочется побольше таких учителей.

Часто родители и школьники задаются вопросом, для чего в школьную программу включены алгебра и начала анализа. А вы как думаете, зачем они нужны подросткам?

Предел и бесконечность — одни из важнейших категорий мироздания. Во многих, даже гуманитарных науках (например в философии) без их понимания делать нечего. Простой пример: в алгебре есть понятие дифференциала и производного (лингвистически это одно и то же), которое выражает скорость изменения чего-то. Его изучают в общем порядке все школьники старших классов. Это понятие важно везде — от экономики до науки о климате. Без этого аппарата, мне кажется, в жизни человеку придется сложно. Мой призыв к школьникам простой: сделать над собой усилие, выучить все формулы и пойти дальше — туда, где начинается настоящая красота. Например, для понимания фильмов проекта «Математические этюды» достаточно школьных знаний. Я уверен, объем знаний и тем, предусмотренных в школьной программе, абсолютно доступен для всех школьников независимо от их задатков, и чем тянуть резину и пытаться наверстать упущенное уже во взрослом возрасте, лучше понять этот большой, но важный объем сразу в школе. Школьные формулы несложные и их можно довести до автоматизма. Кайф начинаешь чувствовать тогда, когда перешагиваешь этот этап. Но это большой шаг, и иногда для этого нужна помощь взрослого.

Как вы относитесь к мнению о том, что школьная математика должна быть сугубо прикладной и ограничить ее объем нужно чуть ли не только арифметикой?

Конечно отрицательно. Для начала приведу примеры того, как несложная математика, но не арифметика, нужна в жизни. Каково, по-вашему, соотношение сторон листа А4? Корень из двух. Это значит, что если мы сложим этот листок пополам, мы получим два листочка с таким же соотношением сторон, что и у А4, только в меньшем масштабе. Понимая это, можно легко и точно выставить точное число процентов на копировальном аппарате, когда нужно на листе А3 откопировать два листа А4. Или другой пример: как устроены частоты нот на пианино. На самом деле это обычная геометрическая прогрессия из школьного задачника. Со знанием этого легче учить сольфеджио. Наш мозг зачастую логарифмирует внешние раздражители, и, соответственно, знание логарифмов полезно даже звукорежиссеру. В XIX веке на основе многочисленных опытов был сформулирован закон Вебера — Фехнера, согласно которому изменения ощущений человека количественно связаны с изменением внешних раздражителей. В частности, Вебер установил, что человек оценивает изменение громкости звукового воздействия в относительной шкале: важно не абсолютное значение «новой громкости», а его отношение к значению «начальной громкости». Получается, что организм человека настроен природой на восприятие изменений «в разы» (скажем, он чувствует рост в разы), а не «на сколько-то». Даже эти примеры, относящиеся не к арифметике, пришли мне в голову сразу, а такого еще много. Но главное, конечно, то, что нельзя ограничивать школьников в выборе своего будущего. Школа все-таки учреждение общеобразовательное, и она должна на выходе дать платформу для старта в практически любом направлении. Собственно, ради этого в школе дается такое разнообразие знаний. Понятно, что мало кому понадобятся в жизни инфузории и теорема Пифагора, но с этим знанием проще углубиться в какие-то сферы, если вдруг школьник решил связать свою судьбу с биологией или математикой. Поэтому я против ранней профилизации. Я часто наблюдаю, что старшеклассники зачастую до самого выпуска не знают, кем хотят стать. И если учесть, что он, к примеру, школьник, который с пятого класса учился в чисто гуманитарном классе, то у него не будет даже шанса прикоснуться к чему-то другому. Я сам никогда не думал, что пойду в математическую науку, — я видел себя инженером. Наука меня привлекла уже в студенчестве, и хорошо, что у меня была база для такого поворота. Кроме того, не стоит забывать, что одна из основных задач математического курса в школе — научить детей логически мыслить. И за многие годы люди научились это делать на материале математики, не стоит это бездумно ломать.

Почему так вышло, что именно у математики есть проблемы со скукой?

Математика — абстрактная наука. Если вы зайдете в любой естественнонаучный музей, то найдете там химические, биологические, физические экспонаты и очень мало связанного с математикой. Математику сложно визуализировать. Вторая большая в этом смысле беда математики, а на самом деле ее плюс, в том, что она глубоко системна: не зная одной темы, ты не поймешь следующую. В литературе, к примеру, не так: можно любить и знать Чехова даже если вы не читали Достоевского (хотя филологи наверняка со мной поспорят). В математике, чтобы сохранить понимание, необходимо на протяжении длительного времени держать стабильный уровень знаний. Скука возникает от непонимания, а непонимание — от того, что когда-то что-то было упущено.

Вам не кажется, что так случилось из-за советского педагогического стереотипа о том, что математика как царица наук может преподаваться только на серьезном, оторванном от жизни языке, а примером приближения к жизни могут быть разве что задачи из разряда «у Маши было три яблока, у Пети четыре»?

Я не думаю, что есть подобный академический пафос, просто не все можно подать в игровой форме. С другой стороны, в математике есть вещи, которые красивы сами по себе и не требуют дополнительного облегчения и украшательства. Главное, что есть у ребенка, — это тяга к новому знанию. Это и важно сохранить. Как это будет достигаться — дело учителя. Я не думаю, что игровая форма и ставка на увлекательность должны стать главными инструментами педагога. Это скорее подходит для начального уровня вхождения в дисциплину. Дальше же можно импровизировать и заниматься чистой математикой. Когда нужно заинтересовать, приезжаем мы с лекциями и показываем мультфильмы о математике. Проекту «Математические этюды» уже 15 лет. Когда мы только начинали, компьютерная графика в подобных проектах была редкостью, потому это очень привлекло подростков. Также мы особым образом подбираем темы: делаем ставку на прикладной аспект. Хотя бывает, что и чисто математические темы идут на ура — к примеру все, что связано с задачами на развертку. Во многом отношение школьника к математике (как и к любому другому предмету) зависит от педагога. Энергия, которую ты передаешь детям, играет важную роль. В России глубокие традиции популяризации: даже очень серьезные ученые, находившиеся на переднем крае науки, уделяли внимание популяризации. Самый яркий пример из недавних — Владимир Игоревич Арнольд. Общение школьника с таким человеком часто становится толчком к тому, чтобы поменять мнение о предмете. Один из наших проектов, который мы начинаем сейчас реализовывать, — это сбор историй у наших старших товарищей-ученых о том, как они пришли в науку. На деле оказывается, что точками входа может стать что угодно. Таких входов в науку должно быть много и на разный вкус: ролик в интернете, книжка, популярная лекция или музей.

Нет ли у вас ощущения, что в обществе падает престиж математики? Все понимают, что важно найти лекарство от рака, но решение абстрактных формул в лучшем случае воспринимается как чудачество.

Не в Казани об этом говорить. Даже великого ректора Казанского университета Николая Ивановича Лобачевского люди считали чудаком и за работу «Воображаемая геометрия» начали подозревать в безумстве. А сейчас мы знаем, что если не учитывать выводы геометрии Лобачевского, невозможно будет пользоваться GPS-устройствами, — сам Лобачевский о таком применении своей теории и предположить не мог. Это прикладной аспект. Лекарств без математики тоже не будет. Математические закономерности, представленные в виде абстрактных формул, могут проявиться в совершенно разных сферах: мы можем увидеть одинаковые зависимости в разрастании сети интернет и колоний бактерий. Это и есть одна из главных задач математики — усмотреть в различном сходное и обнаружить общие законы устройства мира. Не ценить эту мощь значит не видеть сути вещей.

Вам не кажется несправедливым, что общественное мнение считает обязательным для культурного человека знание Толстого или Достоевского, при этом допускает и не осуждает полное неведение в точных науках?

По этому поводу мне нравится фраза из интернета: «Раньше гуманитарием считали того, кто знает пять языков, сейчас того, кто не знает математику». Я смотрю на своих старших преподавателей и вижу, что тогдашние интеллектуалы, в том числе гуманитарии, — это люди со всесторонними знаниями. Математика, конечно же, не сводится к знанию теоремы Пифагора, хотя она очень важна и много где используется. Эта дисциплина в большой степени о логическом мышлении, об умении из причин выводить следствия и так далее. Отношение к науке — это вопрос моды, которую задает в том числе государство. В обществе должен сложиться тренд на всестороннюю образованность. Хотя сейчас в этом плане ситуация лучше, чем в тех же 1990-х, когда круто было быть богатым, а не умным. Но забавно подмечать, что многие успешные бизнесмены из того времени тоже оказываются очень неглупыми людьми и часто, по моему опыту, имеют физико-математическое образование.

Вам не кажется несостоятельным деление людей на технарей и гуманитариев?

Я не верю в какие-то четко заданные природные склонности. Я смотрю на людей вокруг и вижу, что выбор той или иной сферы часто становится результатом случайности — многое зависит от того, какой учитель или наставник оказался рядом в процессе обучения, в момент выбора профессии. Мы часто с коллегами на различных уровнях обсуждаем школьную программу. Я уверен, что ее может постичь любой школьник, и апелляция к тому, что у конкретного ученика якобы нематематические мозги, не имеет смысла. Это точно вранье. Главное — чуть-чуть захотеть. Дальше и из гуманитария можно сделать математика. Выдающийся российский лингвист Андрей Анатольевич Зализняк, казалось бы, гуманитарий, но из его лекции ясно, что у человека чисто математическое мышление, которое он с успехом использует в совершенно другой сфере. Хотя нужно все же отметить, что лингвистика — одна из самых математических по сути гуманитарных наук.

Как вы оказались на канале «Культура» — главном оплоте гуманитариев на российском телевидении?

Над программой Academia работала очень хорошая группа, они же сейчас делают программу «Правила жизни», в которой, к слову, также появляются люди из мира естественных наук (к примеру, кроме меня на передачу приглашали Любовь Стрельникову, главного редактора журнала «Химия и жизнь»). Но моя пресловутая медийность подскочила после получения в 2011 году премии президента в области науки и инновации для молодых ученых (в СССР она называлась премией ВЛКСМ). После нее обычно начинают приглашать всюду. При этом премия сугубо научная, и наш случай пока единственный, когда наградили за популяризацию. В 2017 году мы также как популяризаторы получили золотую медаль Российской Академии наук за пропаганду научных знаний, которую до этого получал только Сергей Капица за цикл передач «Очевидное — невероятное». Наша лаборатория пропаганды и популяризации математики создана на базе Математического института им. В.А. Стеклова Российской Академии наук, и это пока исключительный случай, когда в структуре научного учреждения РАН появляется специальное подразделение по популяризации. Хотя каждый большой институт или университет так или иначе занимается популяризацией. Это действительно российская традиция — безвозмездно передавать знания молодым. Нас кто-то обучил в кружках, и сейчас мы делаем то же. Важно чтобы любой школьник мог встретить науку где-то на своем пути, а потом уже сам решил, нужно ему это или нет. Жаль, что пример нашей лаборатории пока единственный.

Какова область ваших научных интересов?

Сейчас я практически полностью переключился на популяризацию, но начинал свою научную деятельность с теории приближения функции, основоположником которой является математик Пафнутий Львович Чебышев. Идея следующая: к примеру, вы хотите передать на спутник какую-то новую функцию. Сама по себе она может быть громоздкой или сложной, и чтобы передать куда-то, вам нужно ее приблизить. Для простоты будем говорить про график функции, его можно приблизить при помощи графика многочлена y=ax^n+…+bx2+cx, дальше, если ты хорошо приблизил, ты можешь закинуть на спутник несколько чисел — коэффициенты этого многочлена, и спутник самостоятельно восстановит функцию и будет знать, как себя вести. Основные вопросы теории приближения: как это сделать, как сделать лучшим образом, чтобы после передачи первоначальная функция не искажалась. Самый тривиальный пример — передача изображения по интернету. До сих пор не каждый компьютер осилит передачу картинки высокого разрешения. Здесь тоже на помощь приходит теория приближения.

Как вы занялись популяризацией математики?

В 2002 году был сделан наш первый научно-популярный фильм. И делался он из идеи проиллюстрировать одну из научных задач, которой я занимался. Это задача Томсона о наилучшем расположении нескольких электронов на сфере. Фильм понравился математикам, но не только им. И стало понятно, что подобной деятельностью стоит заниматься, что она очень востребована. Стали делать новые фильмы, читать большое количество научно-популярных лекций. А в 2010 году по инициативе директора нашего института Валерия Васильевича Козлова была создана лаборатория популяризации и пропаганды математики. Деятельность лаборатории давно уже не исчерпывается только фильмами, у нас много различных проектов, например программы для мобильных устройств. К сожалению, нереализованных задумок еще больше — на многие идеи мы пока не можем найти финансирование. В частности, давняя задумка — музей математики. Может быть, какую-то его часть сможем реализовать у вас здесь, в Казани, совместно с КФУ.

Какие важные задачи решает современная математическая наука?

Далеко не все новшества можно объяснить широкому кругу читателей. Некоторые вопросы современной науки не понимаю даже я. В этом смысле математика честна: либо знаешь, либо нет. Есть сложные области с очень дорогим входным билетом — к примеру, алгебраическая геометрия. Но если не знаешь, не стоит и лезть, а тем более пытаться популяризовать. Однако даже на переднем крае науки есть области, которые относительно легко можно пересказать нематематикам. Простой пример — неконструктивный критерий А.Д. Александрова. Допустим, известно, что из некоторого конкретного куска бумаги можно сложить выпуклые многогранники, но как это делать и сколько их теоретически можно сложить — до сих пор не решенная задача. Еще очень простая с ходу, для знакомства, но сложная по сути тема — теория чисел. Все со школы знают, что числа бывают простые и составные. Простые — это те, которые делятся только на себя и на единицу (к примеру 1, 3, 7 и т.д.), составные — это произведения простых чисел. Существуют задачи, связанные с распределением простых чисел, и в этой области масса нерешенных вопросов. К примеру, существуют так называемые простые числа-близнецы, которые ходят парами, то есть между ними минимальный разрыв (11 и 13, 17 и 19). Когда начинаешь их выписывать, видишь, что чем дальше, тем реже они встречаются и разрыв между парой становится все больше. И никто до сих пор не знает, бесконечно ли количество этих близнецов или все таки в какой-то момент они перестают встречаться. Только несколько лет назад математики доказали, что пар простых чисел с разницей, не превышающей 250, бесконечное количество. Это большое достижение. Для сравнения: первые оценки этого числа были на уровне нескольких десятков тысяч, а сейчас мы имеем конкретное разумное число. Но обыватель спросит: «Зачем это надо?». Во-первых, это как минимум интересно. На мой взгляд, одного этого достаточно, чтобы государство финансировало ученых. Любое разумное государство должно тратить деньги на фундаментальную науку, а не только на прикладные вещи. Никто не знает, что нам завтра понадобится, ровно как и то, к чему может привести каждое новое открытие. Ну а если говорить про прикладные аспекты последней задачи, то на свойствах простых чисел строятся многие алгоритмы криптографии.

С чего обывателю стоит начать погружение в математику, если после школы у него появилось желание ее заново понять?

Сделать универсальный список и не забыть что-то — невозможно. В советское время было издано много очень качественной научно-популярной литературы на любой вкус и уровень знаний. Для начала я бы посоветовал прочитать нашу книгу «Математическая составляющая» (редакторы-составители Н.Н. Андреев, С.П. Коновалов, Н.М. Панюнин; М.: Математические этюды, 2015). Мы старались сделать ее и доступной, и, тем не менее, глубокой по идеям. Из общих книг я бы посоветовал обратить внимание на следующие классические книги: «Математическое понимание природы» Владимира Арнольда, «Беседы о математике. Книга 1. Дискретные объекты» (В.Г. Болтянский, А.П. Савин), «Математические беседы» (Е.Б. Дынкин, В.А. Успенский), «Что такое математика?» (Р. Курант, Г. Робинс), «Математика как метафора» (Ю. Махин), «Числа и фигуры: опыты математического мышления» (Г. Радемахер, О. Теплиц), «Математический калейдоскоп» (Г. Штейнгауз). Они много раз переиздавались, заинтересовавшийся их легко найдет. Напомню также прекрасную серию «Популярные лекции по математике» — небольшие брошюрки на различные математические темы.

Недавно от нас ушел великий просветитель — Виталий Арнольд, который много сил отдал сохранению и доступности наследия, в том числе научно-популярной литературы. В созданной им интернет-библиотеке выложен в открытый доступ золотой фонд книг по математике.

Фотографии: Даша Самойлова